Le carré magique du Luoshu : nombres, structure et signification culturelle

Ce que montre le diagramme

La disposition standard place les nombres comme suit. Les nombres impairs occupent les quatre directions cardinales et le centre : neuf en haut (sud), un en bas (nord), trois à gauche (est), sept à droite (ouest) et cinq au milieu. Les nombres pairs remplissent les quatre angles : quatre et deux en haut, huit et six en bas. Une formule mnémotechnique conservée par la tradition dit en substance : « le neuf en haut, le un en bas, le trois à gauche, le sept à droite, le deux et le quatre pour épaules, le six et le huit pour pieds, le cinq au ventre ». Le cinq central est le point d’équilibre, et quinze — la somme constante — vaut trois fois ce cinq central.

C’est un carré magique d’ordre trois

La magie de la somme constante mérite qu’on s’y attarde, car elle est la source de l’attrait durable du diagramme. Il existe, aux rotations et symétries près, une seule manière de disposer les nombres de un à neuf dans un carré de trois sur trois de sorte que toutes les lignes aient la même somme, et c’est ce qui fait que le Luoshu paraît moins une convention arbitraire qu’une vérité découverte. Pour une tradition déjà convaincue que le nombre exprime la structure profonde du réel, une figure dans laquelle l’ordre surgit si parfaitement des neuf premiers entiers semblait presque miraculeuse — digne d’avoir été révélée sur la carapace d’une tortue divine.

Il vaut la peine d’énoncer précisément ce résultat d’unicité, car il est plus fort que ne l’imaginent la plupart des lecteurs. Il existe exactement un carré magique d’ordre trois utilisant les nombres de un à neuf. On en compte huit dispositions, mais ce sont le même carré tourné et retourné : faites pivoter la feuille, ou présentez-la à un miroir, et vous les obtenez toutes.

Il n’en va pas de même pour les carrés plus grands. Il existe 880 carrés magiques distincts d’ordre quatre et plusieurs millions d’ordre cinq. Trois est la seule taille pour laquelle la réponse est unique, ce qui est un fait réellement intéressant et explique probablement pourquoi cette figure a acquis un tel poids : elle ne pouvait pas être autre chose, et toutes les cultures qui en ont cherché une ont trouvé la même.

Pourquoi le centre doit être cinq

C’est la partie qu’il vaut la peine de traiter correctement, car elle se démontre en quelques lignes et presque aucun exposé de vulgarisation ne s’en donne la peine.

Les nombres de un à neuf ont pour somme quarante-cinq. Ils occupent trois lignes, et ces lignes doivent avoir des sommes égales, donc chaque ligne a pour somme quinze. Il en va de même pour chaque colonne et chaque diagonale.

Considérons maintenant les quatre lignes qui passent par la case centrale : la ligne du milieu, la colonne du milieu et les deux diagonales. Ensemble, elles couvrent quatre fois le centre et chacune des autres cases exactement une fois. Leur total cumulé vaut donc quatre fois quinze, soit soixante, et il est égal à la somme des neuf nombres augmentée de trois fois le centre. Ainsi, quarante-cinq plus trois fois le centre égale soixante, ce qui donne un centre égal à cinq.

L’intérêt n’est pas l’arithmétique elle-même, mais ce qu’elle établit. Le centre n’est pas cinq parce que cinq est le nombre de la terre, ni parce que le centre gouverne la phase médiane. Il est cinq parce qu’aucune autre valeur n’est possible. L’explication cosmologique a été ajustée après coup à un fait que l’arithmétique avait déjà fixé.

La répartition des pairs et des impairs n’est pas non plus un choix de conception

Il en va de même pour le trait le plus souvent invoqué comme preuve d’une intention profonde : le fait que les nombres impairs occupent les quatre positions cardinales et les nombres pairs les quatre angles.

Parmi les nombres de un à neuf, il y a cinq impairs et quatre pairs. Le centre est cinq, un nombre impair, ce qui laisse quatre impairs et quatre pairs pour les huit cases périphériques. Chaque angle se trouve sur trois lignes de somme quinze, et chaque case médiane d’un côté sur deux seulement, mais les contraintes de parité des sommes imposent la disposition : quinze étant un total impair, chaque ligne doit contenir soit trois nombres impairs, soit un impair et deux pairs, et l’examen des possibilités ne laisse qu’une seule répartition.

Ainsi, le motif selon lequel le yang occupe les directions cardinales et le yin les angles — lu pendant mille ans comme un énoncé sur la structure du cosmos — est une conséquence de l’arithmétique et n’aurait pas pu se présenter autrement. Personne ne l’a agencé. C’est tout simplement l’aspect d’un carré magique d’ordre trois.

Cela ne prive pas la lecture traditionnelle de toute valeur en tant qu’histoire culturelle. Cela signifie en revanche que cette lecture décrit le carré plutôt qu’elle n’y est découverte.

Son association avec les trigrammes du Ciel postérieur

On superpose conventionnellement au Luoshu l’agencement des huit trigrammes dit du Ciel postérieur : Li au sud avec le neuf, Kan au nord avec le un, Zhen à l’est avec le trois, Dui à l’ouest avec le sept, et les quatre trigrammes restants aux angles avec les nombres pairs, le centre restant sans trigramme.

C’est cette association qui rend le diagramme utilisable dans les arts divinatoires. Elle dote chaque palais d’un nombre, d’une direction, d’un trigramme, d’une phase et — par l’intermédiaire des trigrammes — d’un membre de la famille et d’un ensemble d’associations. Dès lors qu’un palais porte cinq types d’étiquettes à la fois, le praticien peut passer librement d’un vocabulaire à l’autre, ce qu’exigent précisément le Feng Shui des Étoiles volantes et le Qimen Dunjia.

Il faut dire que cette association est une convention. La séquence du Ciel postérieur et le carré magique ont des origines indépendantes, et leur réunion a été une décision, prise et standardisée à une époque donnée. Elle fonctionne bien, mais ce n’est pas une découverte.

Des carrés magiques ailleurs aussi

Le carré numérique a aussi voyagé bien au-delà de la Chine. Des versions du carré magique de trois sur trois apparaissent dans des sources indiennes, islamiques et, plus tard, européennes, tantôt comme talismans protecteurs, tantôt comme curiosités mathématiques. Au sein de la tradition chinoise, le Luoshu a été gravé sur des amulettes, employé dans les rites et — conséquence la plus importante — intégré au Feng Shui et aux systèmes calendaires comme cadre permettant de suivre les « étoiles volantes », dans lesquelles les neuf nombres se déplacent à travers les palais selon un ordre fixe au fil du temps. Cette circulation dynamique des nombres à travers la grille est l’une des idées les plus élaborées techniquement de toute la métaphysique chinoise.

La ligne de partage entre mathématiques et cosmologie

Tout ce que contient cette page se situe d’un côté ou de l’autre d’une seule ligne, et la tracer clairement est la chose la plus utile que le lecteur puisse retenir.

Du côté mathématique : le carré existe, les sommes sont égales, le centre doit être cinq, la répartition des parités est imposée, il existe exactement une solution aux rotations et symétries près. Tout cela est démontrable, rien ne dépend d’une quelconque croyance, et chacun peut le vérifier en dix minutes.

Du côté cosmologique : que le cinq au centre indiquerait la primauté de la terre, que les nombres impairs aux positions cardinales exprimeraient la nature du yang, que les palais gouverneraient des domaines de la vie, qu’une étoile volant dans un palais une année donnée affecterait les occupants d’un bâtiment. Rien de tout cela ne découle des mathématiques, et aucune preuve n’étaye quoi que ce soit de tout cela.

Ce qui donne au second ensemble sa force de persuasion, c’est sa proximité avec le premier. La rigueur de l’arithmétique se trouve tacitement transférée à l’interprétation qui y est rattachée, et parce que le carré est réellement remarquable, les affirmations formulées à son sujet héritent d’une autorité qu’elles n’ont pas méritée. Ce procédé particulier — un noyau solide surmonté d’une superstructure non étayée, les deux présentés d’une même voix — revient tout au long des arts décrits sur ce site, et le Luoshu en est le spécimen le plus net.

Pourquoi il vaut la peine de l’apprendre

Rien de ce qui précède n’est une raison d’ignorer le Luoshu. Il existe plusieurs bonnes raisons de bien le connaître.

C’est un objet mathématique véritablement élégant, le plus petit carré magique non trivial — une chose agréable à savoir reconstituer de mémoire, et une plaisante initiation au raisonnement combinatoire pour tout le monde, enfants compris.

C’est le cadre de travail d’une grande partie de la pratique chinoise. Les Étoiles volantes, les étoiles pourpre-blanc, les neuf périodes, l’échiquier du Qimen, le pas des neuf palais dans les arts martiaux et le plan des salles rituelles reposent tous sur lui, et aucun de ces sujets ne peut être suivi sans lui.

Et c’est un cas d’école d’une netteté rare sur la manière de penser le matériau traditionnel : un noyau démontrable, un diagramme tardif, un nom ancien, une interprétation importée, et une tradition savante qui a tiré tout cela au clair par ses propres moyens. Si le lecteur ne retient de ce site qu’un exemple comme modèle pour aborder tout le reste, c’est celui-ci qu’il faut retenir.

Points clés

• Le Luoshu est le cosmos en mouvement, là où le Hetu est le cosmos au repos.

• C’est un véritable objet mathématique : le carré magique de trois sur trois.

• Les nombres impairs se trouvent aux quatre points cardinaux et au centre ; les nombres pairs aux angles.

• Chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale ont le même total.

• Cette somme constante est la source de l’attrait durable du diagramme, et c’est un fait vérifiable.

• Dans le Feng Shui des Étoiles volantes, les neuf nombres parcourent les palais dans un ordre fixe au fil du temps.

• Des versions du même carré apparaissent dans les traditions indienne, islamique et européenne.

• Les mathématiques sont réelles ; les significations cosmologiques qui y sont attachées relèvent de l’interprétation.